Dimensi 2 & Dimensi 3

BAB  II  PEMBAHASAN

1.     DIMENSI DUA

a.        Definisi dan Pengukuran Sudut

Sudut Adalah Daerah yang dibatasi oleh dua garis dan titikk. Untuk menyatakan nama, disertai suatu sudut dilambangkan dengan : "<" Huruf-huruf Yunani seperti : a, B, 0 dan lain-lain. Untuk mengukur sudut biasanya digunakan dengan busur.

Cara Mengukur besarnya sudut dengan busur :

- Letakkan menempel garis 0 derajat pada busur ke salah satu ruas garis yang akan diukur besar sudutnya.

- Letakkan titik pusat busur ( titik pusat 1/2 lingkaran ) pada titik sudut dan ruas garis yang terletak didalam busur.

- Ukur besar sudutnya dengan menggunakan skala pada busur.

Secara Garis Besar, besarnya suatu sudut terbagi menjadi tiga bagian, yaitu :

- Sudut lancip yaitu sudut yang besarnya kurang dari 90 derajat.

- Sudut siku-siku yaitu sudut yang besarnya 90 derajat.

- Sudut tumpul yaitu sudut yang besarnya lebih dari 90 derajat.

b.       Pengubahan derajat ke radian atau sebaliknya.

Pengukuran sudut  berdasarkan ukuran radian didasarkan anggapan bahwa :

" satu radian = besarnya sudut pusat lingkaran yang dibatasi oleh busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari"

- Konvensi Derajat ke Radian

Contoh 

- Konvensi Radian ke Derajat 

Contoh

Macam Bangun Ruang dimensi dua

a.      Jajar Genjang

Jajar genjang atau Jajaran genjang (inggris parallelogram) adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan pasangannya, dan memiliki dua pasang sudut yang masing-masing sama besar dengan sudut di hadapannya.

Jajar genjang dengan empat rusuk yang sama panjang disebut belah ketupat.

Rumus dalam jajar genjang

Keliling

Luas

b.      Layang-layang

Layang-layang adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing pasangannya sama panjang dan saling membentuk sudut.

Layang-layang dengan keempat rusuk yang sama panjang disebut belah ketupat.

Rumus

Keliling

Luas

c.       Persegi

Persegi adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk yang sama panjang dan memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku. Bangun ini dahulu disebut sebagai bujur sangkar.

Luas

d.      Persegi panjang

Persegi panjang (inggris rectangle) adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan pasangannya, dan memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku.

Rusuk terpanjang disebut sebagai panjang dan rusuk terpendek disebut sebagai lebar .

Persegi panjang yang keempat rusuknya sama panjang disebut sebagai persegi

Rumus

Keliling

k : keliling p : panjang l : lebar

Luas

Panjang diagonal

e.       Segitiga

Segitiga atau segi tiga adalah nama suatu bentuk yang dibuat dari tiga sisi yang berupa garis lurus dan tiga sudut. Matematikawan Euclid yang hidup sekitar tahun 300 SM menemukan bahwa jumlah ketiga sudut di suatu segi tiga pada bidang datar adalah 180 derajat. Hal ini memungkinkan kita menghitung besarnya salah satu sudut bila dua sudut lainnya sudah diketahui.

Rumus

Luas

Keliling

f.       Trapesium

Trapesium adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk yang dua di antaranya saling sejajar namun tidak sama panjang.Trapesium termasuk jenis bangun datarsegi empat.Trapesium yang rusuk ketiganya tegak lurus terhadap rusuk-rusuk sejajar disebut trapesium siku-siku.

Rumus

Keliling

Luas

g.      Belah ketupat

Belah ketupat (inggris rhombus) adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk yang sama panjang, dan memiliki dua pasang sudut bukan siku-siku yang masing-masing sama besar dengan sudut di hadapannya.

Belah ketupat dapat dibangun dari dua buah segitiga sama kaki identik yang simetri pada alas-alasnya.

Rumus

Keliling

Luas

h.      Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat.

Rumus

Tranformasi adalah aturan secara geometris yang dapat menunjukan bagaimana suatu bangun dapat berubah kedudukan dan ukurannya berdasarkan rumus tertentu .Secra umum transformasi dibedakan menjadi dua yaitu transformasi isometri dan ditalasi. Transformasi isometri adalah transformasi yang tidak mengubah ukuran, misalnya pergeseran, pencerminan dan pemutaran, sedangkan ditalasi adalah transformasi yang mengubah ukuran benda .
         Transformasi dapat dipandang sebagai pemetaan dari himpunan titik ke himpunan titik. Biasanya titik yang dipetakan adalah (x, y) dengan titik hasil pemetaan atau bayangannya adalah (x,y).

            

     Jenis - Jenis Transformasi Bangun Datar

  a)Translasi(pergeseran)
  b) Refleksi (pencerminan)

  c) Rotasi (perputaran)
  d) Dilatasi (perkalian)

2.     DIMENSI TIGA

a.      Kubus

      kubus terdapat 6 (enam) buah sisi yang berbentuk persegi dengan luas yang sama besar diantara sisinya. Terdapat 12 (dua belas) rusuk dengan panjang rusuk yang sama panjang. Semua sudut bernilai 90 derajat ataupun siku-siku.

Rumus:

Luas salah satu sisi = rusuk x rusuk

  
Luas Permukaan Kubus = 6 x rusuk x rusuk

Keliling Kubus = 12 x rusuk

Volume Kubus = rusuk x rusuk x rusuk ( rusuk 3 )

b.      Balok

Rumus:

Luas Permukaan Balok = 2 x {(pxl) + (pxt) + (lxt)}

Diagonal Ruang = Akar dari (p kuadrat + l kuadrat + t kuadrat)

Keliling Balok = 4 x (p + l + t)

Volume Balok = p x l x t (sama dengan kubus, tapi semua rusuk kubus sama panjang).

c.       Bola 

Rumus:

Luas Bola = 4 x π x jari-jari x jari-jari, atau
                    4 x π x r2
Volume Bola = 4/3 x π x jari-jari x jari-jari x jari-jari
π  = 3,14 atau 22/7

   

d.      Tabung/Silinder 

Rumus:


Volume = luas alas x tinggi, atau
                luas lingkaran x t
Luas = luas alas + luas tutup + luas selimut, atau
            ( 2 x π x r x r) + π x d x t)

e.       Kerucut 

Rumus:


Volume = 1/3 x π x r x r x t
Luas = luas alas + luas selimut

f.       Limas

Rumus:

Volume = 1/3 luas alas tinggi sisi
Luas = luas alas + jumlah luas sisi tegak

A.   KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG

      1.   Kedudukan titik terhadap garis

            Jika diketahui sebuah titik T dan sebuah garis g, maka :

a.       Titik T teletak pada garis g, tau garis g melalui titik T

b.      Titik T berada diluar garis g, atau garis g tidak melalui titik T

2.      Kedudukan titik terhadap bidang

Jika diketahui sebuah titik T dan sebuah bidang H, maka :

a.   Titik T terletak pada bidang H, atau bidang H melalui titik T

b.   Titik T berada diluar bidang H, atau bidang H tidak melalui titik T

3.   Kedudukan garis terhadap garis

      Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah garis h, maka :

a.       Garis g dan h terletak pada sebuah bidang, sehingga dapat terjadi :

·         garis g dan h berhimpit, g = h

·         garis g dan h berpotongan pada sebuah titik

·         garis g dan h sejajar

b.      Garis g dan h tidak terletak pada sebuah bidang, atau garis g dan h bersilangan, yaitu kedua garis tidak sejajar dan tidak berpotongan.

4.   Kedudukan garis terhadap bidang

      Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah bidang H, maka :

a.       Garis g terletak pada bidang H, atau bidang H melalui garis g.

b.      Garis g memotong bidang H, atau garis g menembus bidang H

c.       Garis g sejajar dengan bidang H

5.      Kedudukan bidang terhadap bidang

Jika diketahui bidang V dan bidang H, maka :

a.   Bidang V dan bidang H berhimpit

b.   Bidang V dan bidang H sejajar

c.   Bidang V dan bidang H berpotongan. Perpotongan kedua bidang berupa garis lurus yang disebut garis potong atau garis persdekutuan.

Contoh :

Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan :

a.       Titik yang berada pada garis DF

b.      Titik yang berada diluar bidang BCHE

c.        Garis yang sejajar dengan CF

d.      Garis yang berpotongan dengan BE

e.       Garis yang bersilangan dengan FG

f.       Bidang yang sejajar dengan bidang BDG

Jawab :

a.       Titik D dan F

b.      Titik A, D, F, G

c.       DE

d.      EA, EF, ED, EH

e.       AB, DC, AE, DH

f.       AFH

B. JARAK TITIK, GARIS, DAN BIDANG

1.  Menghitung jarak antara titik dan garis

      Jarak antara titik dan garis merupakan panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik sampai memotong garis tersebut secara tegak lurus.

            Jarak antara titik A dengan garis g adalah AB, karena AB tegak lurus dengan garis g

g

   

2.      Menghitung jarak antara titik dan bidang

Jarak antara titik dan bidang adalah panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik diluar bidang sampai memotong tegak lurus bidang.

Jarak titik A ke bidang H Adalah AB, karena garis AB Tegak lurus dengan bidang H

3.      Menghitung jarak antara 2 garis

a.       Dua garis yang berpotongan tidak mempunyai jarak

b.      Jarak antara dua garis yang sejajar adalah panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik pada salah satu garis sejajar dan tegak lurus garis sejajar yang lain.

g

A

 

                                                     Jarak antara garis g dan h

h

                                                                        Adalah AB, karena AB                                                                        g dan h                                                                                         

B

 

                                                                                  

c.       Jarak dua garis bersilangan adalah panjang ruas garis hubung yang letaknya tegak lurus pada kedua garis bersilangan itu.

h

g

B

 

A

                                                                  Jarak antara garis g dan h

                                                                  adalah AB karena AB tegak

H

                                                                  lurus g dan h

4.      Menghitung jarak antara garis dan bidang

Jarak antara garis dan bidang yang sejajar adalah jarak antara salah satu titik pada garis tehadap bidang.

g

A

 

                                                                           Jarak antara garis g dan

                                                                            Bidang H adalah AB, karena

B

                                                                            AB tegak lurus g dan

                                                                            Bidang H.

H

 

5.      Jarak antara dua bidang

Jarak antara dua bidang yang sejajar sama dengan jarak antara sebuah titik pada salah satu bidang ke bidang yang lain.

A

 

G

                                                                Jarak antara bidang G dan H

                                                                Adalah AB.

B

H

 

Contoh :

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Hitunglah jarak antara :

a.       Titik A ke H

b.      Titik A ke P (P adalah perpotongan diagonal ruang)

c.       Titik A ke garis CE

d.      Titik A ke bidang BCGF

e.       Titik A ke bidang BDHF

f.       Titik A ke bidang BDE

g.      Garis AE ke garis CG

h.      Garis AE ke garis CG

i.        Bidang ABCD ke EFGH

      Jawab :

G

H

 

E

                                                                             a. Jarak titik A ke H = AH

F

                                                                                    AH =             

                                                                                         =

P

D

                                                                                         =

R

C

                                                                                         =  cm

                                                                             b.  Jarak titik A ke P = AP

                                                                                                                  = ½ AG

10

B

A

                                                                                                                  =  cm

      c.  Jarak A ke CE = AK

E

G

           

K

                                                                Pada segitiga siku-siku CAE

                                                                L    CAE = ½.AC.AE = ½.CE.AK

C

A

                                                                                   

      d.   Jarak titik A ke bidang BCGF = AB = 10 cm

      e.   Jarak titik A ke bidang BDHF = AR (R titik tengah garis BD)

            AR = ½ AC = ½  =  cm

f.       Jarak titik A ke bidang BDE 

     

C

D

G

H

E

F

T

 

                                                                                                        

A

R

B

 

           

            Perhatikan persegi panjang ACGE sbb

                       

E

G

                                                            Garis AG berpotongan tegak lurus dengan

                                                            Garis ER dititik T, sehingga jarak A ke

                                                            Bidang BDE adalah AT.

T

                                                            ER =

                                                                 =

C

A

                                                                 =

R

                                                                 =  cm.

           

      L.    ARE =  ½. AR. AE   = ½. RE. AT

                            ½.  = ½ .

                                       =

                                    AT       =  =  cm

g.      Jarak AE ke CG = AC =

h.      Jarak ABCD dan EFGH = AC = 10 cm

D. SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG

1.   Sudut antara dua garis berpotongan

      Sudut antara dua garis berpotongan diambil sudut yang lancip.

      Garis g berpotongan dengan garis h di titik A, sudut yang dibentuk adalah .

g

h

A

 

     

     

     

2.   Sudut antara dua garis bersilangan

      Sudut antara dua garis bersilangan ditentukan dengan membuat garis sejajar salah satu garis bersilangan tadi dan memotong garis yang lain dan sudut yang dimaksud adalah sudut antara dua garis berpotongan itu.

h

 

                                                                                    Garis g bersilangan dg h

                                                                                       Garis h₁ sejajar dengan h

                                                                                    Memotong g

g

h1

                                                                                    Sudut antara g dan h sama dg

                                                                                    Sudut antara g dan h₁

3.   Sudut antara garis dan bidang

      Sudut antara garis dan bidang hanya ada jika garis menembus bidang.

      Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis dan proyeksinya pada bidang itu.

g

 

                                                                Garis g menembus bidang H dititik A.

                                                                Proyeksi garis g pada bidang H adalah g₁

                                                                Sudut antara garis g dengan bidang H

A

                                                                Adalah sudut yang dibentuk garis g dg g₁

g1

     

H

 

                                                                              

4.   Sudut antara bidang dengan bidang

      Sudut antara dua bidang terjadi jika kedua bidang saling berpotongan.

      Untuk menentukannya sbb :

a.       Tentukan garis potong kedua bidang

b.      Tentukan sebarang garis pada bidang pertama yang tegak lurus garis potong kdua bidang

c.       Pada bidang kedua buat pula garis yang tegak lurus garis potong kedua bidang dan berpotongan dengan garis pada bidang pertama tadi.

d.      Sudut antara kedua bidang sama dengan sudut antara kedua garis tadi

H

G

g

h

(G,H)

 

      Bidang G dan H berpotong pada garis (G,H). Garis g pada G tegak lurus gais (G,H). Garis h pada H tegak lurus garis (G,H)

      Sudut antara bidang G dan H sama dengan sudut antara garis g dan h

Contoh      :

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. Tentukan :

a.       Besar sudut antara BG dan bidang ABCD

b.      Cosinus sudut antara BH dan ABCD

Jawab :

A

B

C

D

E

F

G

H

5 cm

 

a.       Sudut antara BG dengan ABCD adalah sudut CBG = 45⁰

b.      Cosinus sudut antara BH dengan ABCD adalah Cos DBH =

                                                                                                         =

                                                                                                         =