BAB II
PEMBAHASAN
1.
DIMENSI DUA
a.
Definisi dan Pengukuran Sudut
Sudut Adalah Daerah yang dibatasi oleh
dua garis dan titikk. Untuk menyatakan nama, disertai suatu sudut dilambangkan
dengan : "<" Huruf-huruf Yunani seperti : a, B, 0 dan lain-lain.
Untuk mengukur sudut biasanya digunakan dengan busur.
Cara Mengukur besarnya sudut dengan busur
:
- Letakkan menempel garis 0 derajat pada
busur ke salah satu ruas garis yang akan diukur besar sudutnya.
- Letakkan titik pusat busur ( titik
pusat 1/2 lingkaran ) pada titik sudut dan ruas garis yang terletak didalam busur.
- Ukur besar sudutnya dengan menggunakan
skala pada busur.
Secara Garis Besar, besarnya suatu sudut terbagi menjadi
tiga bagian, yaitu :
- Sudut lancip yaitu sudut yang besarnya kurang dari 90 derajat.
- Sudut siku-siku yaitu sudut yang besarnya 90 derajat.
- Sudut
tumpul yaitu sudut yang besarnya lebih dari 90 derajat.
b.
Pengubahan derajat ke radian atau sebaliknya.
Pengukuran sudut berdasarkan ukuran radian didasarkan
anggapan bahwa :
" satu radian = besarnya sudut pusat lingkaran yang
dibatasi oleh busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari"
- Konvensi Derajat ke Radian
Contoh
- Konvensi Radian ke Derajat
Contoh
Macam Bangun Ruang dimensi dua
a.
Jajar Genjang
Jajar genjang atau Jajaran genjang (inggris parallelogram) adalah
bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh
dua pasang rusuk yang masing-masing sama
panjang dan sejajar
dengan pasangannya, dan memiliki dua pasang sudut yang
masing-masing sama besar dengan sudut di hadapannya.
Jajar genjang
dengan empat rusuk yang sama panjang disebut belah
ketupat.
Rumus dalam
jajar genjang
Keliling
Luas
b.
Layang-layang
Layang-layang adalah bangun datar dua
dimensi yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang
masing-masing pasangannya sama panjang dan saling membentuk sudut.
Layang-layang
dengan keempat rusuk yang sama panjang disebut belah
ketupat.
Rumus
Keliling
Luas
c. Persegi
Persegi adalah bangun datar dua dimensi
yang dibentuk oleh empat buah rusuk
yang sama panjang dan memiliki empat buah sudut yang kesemuanya
adalah sudut siku-siku. Bangun ini dahulu disebut sebagai bujur
sangkar.
Luas
d.
Persegi panjang
Persegi panjang (inggris rectangle) adalah bangun datar dua
dimensi yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang
masing-masing sama panjang dan sejajar
dengan pasangannya, dan memiliki empat buah sudut yang
kesemuanya adalah sudut siku-siku.
Rusuk
terpanjang disebut sebagai panjang
dan rusuk terpendek disebut sebagai lebar
.
Persegi
panjang yang keempat rusuknya sama panjang disebut sebagai persegi
Rumus
Keliling
k :
keliling p : panjang l : lebar
Luas
Panjang diagonal
e. Segitiga
Segitiga atau segi tiga adalah
nama suatu bentuk yang dibuat dari tiga sisi yang berupa garis lurus dan tiga sudut. Matematikawan Euclid yang hidup
sekitar tahun 300
SM menemukan bahwa jumlah ketiga sudut di suatu segi tiga pada bidang datar
adalah 180 derajat. Hal ini memungkinkan kita menghitung besarnya salah satu
sudut bila dua sudut lainnya sudah diketahui.
Rumus
Luas
Keliling
f.
Trapesium
Trapesium adalah bangun datar dua
dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk yang
dua di antaranya saling sejajar
namun tidak sama panjang.Trapesium termasuk jenis bangun
datarsegi empat.Trapesium yang
rusuk ketiganya tegak lurus terhadap rusuk-rusuk sejajar disebut trapesium siku-siku.
Rumus
Keliling
Luas
g.
Belah ketupat
Belah ketupat (inggris rhombus) adalah bangun datar dua
dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk yang sama panjang, dan
memiliki dua pasang sudut
bukan siku-siku yang masing-masing
sama besar dengan sudut di hadapannya.
Belah ketupat
dapat dibangun dari dua buah segitiga sama kaki identik
yang simetri
pada alas-alasnya.
Rumus
Keliling
Luas
h. Lingkaran
Lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat.
Rumus
Tranformasi adalah aturan secara
geometris yang dapat menunjukan bagaimana suatu bangun dapat berubah kedudukan
dan ukurannya berdasarkan rumus tertentu .Secra umum transformasi dibedakan
menjadi dua yaitu transformasi isometri dan ditalasi. Transformasi isometri
adalah transformasi yang tidak mengubah ukuran, misalnya pergeseran,
pencerminan dan pemutaran, sedangkan ditalasi adalah transformasi yang mengubah
ukuran benda .
Transformasi dapat dipandang sebagai pemetaan dari himpunan titik ke himpunan titik. Biasanya titik yang dipetakan adalah (x, y) dengan titik hasil pemetaan atau bayangannya adalah (x,y).
Transformasi dapat dipandang sebagai pemetaan dari himpunan titik ke himpunan titik. Biasanya titik yang dipetakan adalah (x, y) dengan titik hasil pemetaan atau bayangannya adalah (x,y).
Jenis - Jenis Transformasi
Bangun Datar
a)Translasi(pergeseran)
b) Refleksi (pencerminan)
b) Refleksi (pencerminan)
c) Rotasi (perputaran)
d) Dilatasi (perkalian)
d) Dilatasi (perkalian)
2.
DIMENSI TIGA
a.
Kubus
kubus terdapat 6 (enam) buah sisi yang berbentuk persegi dengan luas yang sama besar diantara sisinya. Terdapat 12 (dua belas) rusuk dengan panjang rusuk yang sama panjang. Semua sudut bernilai 90 derajat ataupun siku-siku.
Rumus:
Luas salah satu sisi = rusuk x rusuk
Luas Permukaan Kubus = 6 x rusuk x rusuk
Keliling Kubus = 12 x rusuk
Volume Kubus = rusuk x rusuk x rusuk ( rusuk 3 )
b.
Balok
Rumus:
Luas Permukaan Balok = 2 x {(pxl) + (pxt) + (lxt)}
Diagonal Ruang = Akar dari (p kuadrat + l kuadrat + t kuadrat)
Keliling Balok = 4 x (p + l + t)
Volume Balok = p x l x t (sama dengan kubus, tapi semua rusuk kubus sama panjang).
c.
Bola
Rumus:
Luas Bola = 4 x π x jari-jari x jari-jari, atau
4 x π x r2
Volume Bola = 4/3 x π x jari-jari x jari-jari x jari-jari
π = 3,14 atau 22/7
Luas Bola = 4 x π x jari-jari x jari-jari, atau
4 x π x r2
Volume Bola = 4/3 x π x jari-jari x jari-jari x jari-jari
π = 3,14 atau 22/7
d.
Tabung/Silinder
Rumus:
Volume = luas alas x tinggi, atau
luas lingkaran x t
Luas = luas alas + luas tutup + luas selimut, atau
( 2 x π x r x r) + π x d x t)
e.
Kerucut
Rumus:
Volume = 1/3 x π x r x r x t
Luas = luas alas + luas selimut
Volume = 1/3 x π x r x r x t
Luas = luas alas + luas selimut
f.
Limas
Rumus:
Volume = 1/3 luas alas tinggi sisi
Luas = luas alas + jumlah luas sisi tegak
Volume = 1/3 luas alas tinggi sisi
Luas = luas alas + jumlah luas sisi tegak
A. KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG
1. Kedudukan titik terhadap garis
Jika diketahui sebuah
titik T dan sebuah garis g, maka :
a.
Titik T teletak pada garis g, tau
garis g melalui titik T
b.
Titik T berada diluar garis g,
atau garis g tidak melalui titik T
2.
Kedudukan titik terhadap bidang
Jika diketahui sebuah titik T dan
sebuah bidang H, maka :
a. Titik T terletak pada bidang H, atau bidang H melalui titik T
b. Titik
T berada diluar bidang H, atau bidang H tidak melalui titik T
3. Kedudukan garis terhadap garis
Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah garis h, maka :
a.
Garis g dan h terletak pada sebuah
bidang, sehingga dapat terjadi :
·
garis g dan h berhimpit, g = h
·
garis g dan h berpotongan pada
sebuah titik
·
garis g dan h sejajar
b.
Garis g dan h tidak terletak pada
sebuah bidang, atau garis g dan h bersilangan, yaitu kedua garis tidak sejajar
dan tidak berpotongan.
4. Kedudukan garis terhadap bidang
Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah bidang H, maka :
a.
Garis g terletak pada bidang H,
atau bidang H melalui garis g.
b.
Garis g memotong bidang H, atau
garis g menembus bidang H
c.
Garis g sejajar dengan bidang H
5.
Kedudukan bidang terhadap bidang
Jika diketahui bidang V dan
bidang H, maka :
a. Bidang V dan bidang H berhimpit
b. Bidang V dan bidang H sejajar
c. Bidang V dan bidang H berpotongan.
Perpotongan kedua bidang berupa garis lurus yang disebut garis potong atau
garis persdekutuan.
Contoh :
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan :
a.
Titik yang berada pada garis DF
b.
Titik yang berada diluar bidang
BCHE
c.
Garis yang sejajar dengan CF
d.
Garis yang berpotongan dengan BE
e.
Garis yang bersilangan dengan FG
f.
Bidang yang sejajar dengan bidang
BDG
Jawab :
a.
Titik D dan F
b.
Titik A, D, F, G
c.
DE
d.
EA, EF, ED, EH
e.
AB, DC, AE, DH
f.
AFH
B. JARAK TITIK, GARIS, DAN BIDANG
1.
Menghitung jarak antara titik dan garis
Jarak antara titik dan garis merupakan panjang ruas garis yang
ditarik dari suatu titik sampai memotong garis tersebut secara tegak lurus.
Jarak antara titik A dengan garis g adalah AB, karena AB
tegak lurus dengan garis g
|
g
|
2.
Menghitung jarak antara titik dan
bidang
Jarak antara titik dan bidang
adalah panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik diluar bidang sampai
memotong tegak lurus bidang.
Jarak titik A ke bidang H Adalah AB, karena garis AB Tegak lurus dengan
bidang H
3.
Menghitung jarak antara 2 garis
a.
Dua garis yang berpotongan tidak
mempunyai jarak
b.
Jarak antara dua garis yang
sejajar adalah panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik pada salah satu
garis sejajar dan tegak lurus garis sejajar yang lain.
|
g
|
|
A
|
|
h
|
|
B
|
c.
Jarak dua garis bersilangan adalah
panjang ruas garis hubung yang letaknya tegak lurus pada kedua garis
bersilangan itu.
|
h
|
|
g
|
|
B
|
|
A
|
adalah
AB karena AB tegak
|
H
|
4.
Menghitung jarak antara garis dan
bidang
Jarak antara garis dan bidang yang
sejajar adalah jarak antara salah satu titik pada garis tehadap bidang.
|
g
|
|
A
|
Jarak antara garis g dan
|
B
|
Bidang H.
|
H
|
5.
Jarak antara dua bidang
Jarak antara dua bidang yang
sejajar sama dengan jarak antara sebuah titik pada salah satu bidang ke bidang
yang lain.
|
A
|
|
G
|
Adalah AB.
|
B
|
|
H
|
Contoh :
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan
panjang rusuk 10 cm. Hitunglah jarak antara :
a.
Titik A ke H
b.
Titik A ke P (P adalah perpotongan
diagonal ruang)
c.
Titik A ke garis CE
d.
Titik A ke bidang BCGF
e.
Titik A ke bidang BDHF
f.
Titik A ke bidang BDE
g.
Garis AE ke garis CG
h.
Garis AE ke garis CG
i.
Bidang ABCD ke EFGH
Jawab :
|
G
|
|
H
|
|
E
|
|
F
|
|
P
|
|
D
|
|
R
|
|
C
|
b.
Jarak titik A ke P = AP
= ½ AG
|
10
|
|
B
|
|
A
|
c.
Jarak A ke CE = AK
|
E
|
|
G
|
|
K
|
|
C
|
|
A
|
d. Jarak titik A ke bidang BCGF = AB = 10 cm
e. Jarak titik A ke bidang BDHF = AR (R titik tengah garis BD)
AR = ½ AC = ½
=
cm
f.
Jarak titik A ke bidang BDE
|
C
|
|
D
|
|
G
|
|
H
|
|
E
|
|
F
|
|
T
|
|
A
|
|
R
|
|
B
|
Perhatikan persegi panjang ACGE sbb
|
E
|
|
G
|
Garis
ER dititik T, sehingga jarak A ke
Bidang
BDE adalah AT.
|
T
|
=
|
C
|
|
A
|
|
R
|
½.
= ½ .
AT =
=
cm
g.
Jarak AE ke CG = AC =
h.
Jarak ABCD dan EFGH = AC = 10 cm
D. SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG
1. Sudut antara dua garis berpotongan
Sudut antara dua
garis berpotongan diambil sudut yang lancip.
Garis g berpotongan dengan garis h di
titik A, sudut yang dibentuk adalah
.
|
g
|
|
h
|
|
A
|
|
|
2. Sudut antara dua garis bersilangan
Sudut antara dua garis bersilangan
ditentukan dengan membuat garis sejajar salah satu garis bersilangan tadi dan
memotong garis yang lain dan sudut yang dimaksud adalah sudut antara dua garis
berpotongan itu.
|
h
|
Garis
g bersilangan dg h
Garis h1
sejajar dengan h
Memotong
g
|
g
|
|
h1
|
3. Sudut antara garis dan bidang
Sudut antara garis dan bidang hanya ada
jika garis menembus bidang.
Sudut antara garis dan bidang adalah sudut
antara garis dan proyeksinya pada bidang itu.
|
g
|
Proyeksi garis g pada bidang H adalah g1
|
A
|
|
g1
|
|
H
|
4. Sudut antara bidang dengan bidang
Sudut antara dua bidang terjadi jika kedua
bidang saling berpotongan.
Untuk menentukannya sbb :
a.
Tentukan garis potong kedua bidang
b.
Tentukan sebarang garis pada
bidang pertama yang tegak lurus garis potong kdua bidang
c.
Pada bidang kedua buat pula garis
yang tegak lurus garis potong kedua bidang dan berpotongan dengan garis pada bidang
pertama tadi.
d.
Sudut antara kedua bidang sama
dengan sudut antara kedua garis tadi
|
H
|
|
G
|
|
g
|
|
h
|
|
|
|
(G,H)
|
Bidang G dan H berpotong pada garis (G,H).
Garis g pada G tegak lurus gais (G,H). Garis h pada H tegak lurus garis (G,H)
Sudut antara bidang G dan H sama dengan
sudut antara garis g dan h
Contoh
:
Diketahui
kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. Tentukan :
a.
Besar sudut antara BG dan bidang
ABCD
b.
Cosinus sudut antara BH dan ABCD
Jawab :
|
A
|
|
B
|
|
C
|
|
D
|
|
E
|
|
F
|
|
G
|
|
H
|
|
5 cm
|
a.
Sudut antara BG dengan ABCD adalah
sudut CBG = 450
b.
Cosinus sudut antara BH dengan
ABCD adalah Cos DBH =
=
=
Tidak ada komentar:
Posting Komentar